可算集合の可算総合併と非可算総合併の濃度

可算集合の可算合併とその濃度

$A_1, A_2, …, A_m,…$を可算な集合だとして、

$a_{m, n}∈A_{m}$を、添字の和のm+nで順序付ける、m+nが同じ場合の要素はmが大きい順序で並べる、同じ要素はまとめる、を任意のmで繰り返すと、たかだか可算な無限集合のたかだか可算な無限合併の要素を、可算で順序付けることが可能。ゆえに可算集合の高々可算な合併の濃度は離散濃度である。

可算集合の非加算合併の例

高々どんな濃度になるかは示せていない(示せるかそうでないかが分かったら追記する)。ただ濃度が$\aleph_0$と$\aleph_1$になる構成例は考えられたので例として出してみる。

可算集合の非加算合併の濃度が$\aleph_0$になる例

自然数の冪集合$P(\mathbb{N})$を考える。

この場合$|P(\mathbb{N})|=ℵ_1$だが、$A_m∈P(\mathbb{N})$について総合併を取る(非可算無限回の総和となることは$|P(\mathbb{N})|=\aleph_1$より明らか)と、$∪A_m=\mathbb{N}$となる。何故なら$\mathbb{N}∈P(\mathbb{N})$が$\mathbb{N}$の冪集合の中で最大の集合であるため。もちろんここで$|∪A_m|=ℵ_0$である。

ゆえに、高々可算無限な集合の非可算回の総合併の濃度が、$ℵ_0$になりうるという若干直観に反する結果を導くことができる。

可算集合の非加算合併の濃度が$\aleph_1$になる例

可算集合Aの、非可算な総合併の濃度が$ℵ_1$となる場合も構成可能である。$\mathbb{N}/r$、ただし$r∈\mathbb{R}, r>0$として、$\{\mathbb{N}/r\}$の集合族を考えると、"ほとんど"*1の$r_1≠r_2,$

$r_1, r_2∈\mathbb{R}$において$\mathbb{N}/r_1∩\mathbb{N}/r_2=\phi$と取れる。ここで、
$|∪\mathbb{N}/r|=ℵ_1$であることは自明。

何故なら、$\{1/r\}$と$\mathbb{R}$の間に全単射写像が構成可能なゆえに
(これも任意の$[a, b]$もしくは$(a, b)$ただし$a, b∈\mathbb{R}$、と$\mathbb{R}$との間に全単射写像が構成できる、という命題から自明)、
${∪\mathbb{N}/r}$と$\mathbb{R}$の間にも全単射写像が構成できるからである。これで可算集合の非加算合併の濃度が$\aleph_1$になる例を挙げた。

*1:$r_1'≠r_2'$、但し$r_1', r_2'∈\mathbb{Q}⊂\mathbb{R}$の場合$∃\mathbb{N}/r_1'∩\mathbb{N}/r_2'≠\phi$となり、$r_1''≠r_2''$、$r_1'', r_2''∈\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}⊂\mathbb{R}$の場合$\mathbb{N}/r_1''∩\mathbb{N}/r_2''=\phi$になるのだが、後者の場合を満たす$r''_1, r''_2$の組み合わせの確率が前者の場合を満たす$r'_1, r'_2$の組み合わせの確率と比べると自明にoverwhelmingなので(そもそも$∣\mathbb{Q}∣≪∣\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}∣$である)この表現とした。合ってるか自信はない。