カントール集合と実数体の濃度が等しいことのベルンシュタインの定理による証明

　ベルンシュタインの定理を使ってみたかったので．

カントール集合が実数体濃度と等しいことの証明

　初めに$[0,1]$からカントール集合への単射を構成する．これは前エントリの内容と同じ．まず任意の$[0,1]$の元を2進展開する．ただし$0.0111..._{(2)}$のように桁に1が無限に続く元は$0.1_{(2)}$と処理する．これは構成する写像のwell-defined性のために重要である．2進展開された$[0,1]$の元の各桁を\(1\rightarrow2\)，\(0\rightarrow0\)に移す．なお，$0.0111..._{(2)}=0.1_{(2)}$であるが$0.0222..._{(3)}=0.2_{(3)}$ではないので先ほど$0.0111..._{(2)}$のように桁に1が無限に続く元は$0.1_{(2)}$となるように処理したのであった．この写像は自明に[0,1]からカントール集合への単射となる．$|[0,1]|=|\mathbb{R}|$なので$\mathbb{R}$からカントール集合への単射も存在する．

　次にカントール集合から$\mathbb{R}$への単射を作る．まずカントール集合の任意の元を三進展開する．その各桁を$\mathbb{R}$の$2_{(3)}\rightarrow1_{(2)}$，$0_{(3)}\rightarrow0_{(2)}$へと移すが，カントール集合の桁で2が無限に続く元はたとえば$0.0222..._{(3)}=0.1{(3)}$と処理し，例外処理としてその各桁を$\mathbb{R}$の$1_{(3)}\rightarrow1_{(2)}$，$0_{(3)}\rightarrow0_{(2)}$へと移したあとで元を1bit左シフトする．これはカントール集合から実数体への単射となる．

　このような写像操作をする理由は，カントール集合で前述のように例えば$0.0222..._{(3)}=0.1{(3)}$と処理した場合，左シフトしない場合$\mathbb{R}$の$1_{(3)}\rightarrow1_{(2)}$，$0_{(3)}\rightarrow0_{(2)}$の写像操作により例えば$0.1_{(3)}$と$0.2_{(3)}$が同じ$\mathbb{R}$の元に飛ばされるため単射と出来ないためである．

　実数体からカントール集合への単射，カントール集合から実数体への単射が構成できたためベルンシュタインの定理よりカントール集合と実数体の間には全単射写像がありよってカントール集合と実数体の濃度は等しく$ℵ$である．