カントール集合の濃度が実数体と等しいことの証明
カントール集合とはとある測度論的に特異な性質をもつ集合のことである．その性質については後述する．
まずはカントール集合をいかに構成するかということについて述べるべきであるが，それに関しては幸いなことにとうの昔から優秀な記事がネットにいくつも存在するのでまずはそちらをご一読いただきたい*1．なお，カントール集合の構成法により，例えば$0.1_{(3)}$を$0.0222..._{(3)}$と処理するとカントール集合とは任意の元を3進展開するとどの桁にも1が現れない集合と解釈できる．
カントール集合が実数体濃度と等しいことの証明
初めに$[0,1]$からカントール集合への単射を構成する．まず任意の$[0,1]$の元を2進展開する．ただし$0.0111..._{(2)}$のように桁に1が無限に続く元は$0.1_{(2)}$と処理する．これは構成する写像のwell-defined性のために重要である．2進展開された$[0,1]$の元の各桁を\(1\rightarrow2\)，\(0\rightarrow0\)に移す．なお，$0.0111..._{(2)}=0.1_{(2)}$であるが$0.0222..._{(3)}=0.2_{(3)}$ではないので先ほど$0.0111..._{(2)}$のように桁に1が無限に続く元は$0.1_{(2)}$となるように処理したのであった．この写像は自明に[0,1]からカントール集合への単射となる．つまりカントール集合を$\mathcal{C}$とすると$|[0,1]|≤|\mathcal{C}|$となる．
ここで$\mathcal{C}⊂[0,1]$なので，$|\mathcal{C}|≤|[0,1]|$．よって、$|[0,1]|≤|\mathcal{C}|≤|[0,1]|$．$|[0,1]|=ℵ$であることから$|\mathcal{C}|=ℵ$であり，カントール集合の濃度は実数体と等しい。
カントール集合の性質
測度論において可算集合はルベーグ測度0であることはこのブログでも触れたが，逆は成り立たない．その代表的な例がこのカントール集合である．実際カントール集合はルベーグ測度0である*2．連続体濃度でありながらルベーグ測度0，そのような面白い集合がカントール集合なのであった．ほんとはベルンシュタインの定理を使って証明したかったがうまくカントール集合から$[0,1]$への単射を構成できなかった．
